Лекции о теореме Гёделя и другие материалы на эту тему.
1. Лекции летней школы «Современная математика», г.Дубна (В.А.Успенский, А.Б.Сосинский, А.Л.Семёнов).
2. Тахтаджян Л. Математика как форма существования мира идей в нашем сознании.
3. Башаров А.М. Об аксиоматическом методе для учеников 6-7 классов.
4. Беклемишев Л.Д. Позитивная логика для схем рефлексии в арифметике.

Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекции летней школы «Современная математика», г. Дубна, 2007.

Сосинский А.Б. Теорема Гёделя о неполноте
Лекции летней школы «Современная математика», г. Дубна

Другая лекция

Тахтаджян Л. Математика как форма существования мира идей в нашем сознании

Семёнов А.Л. Доказательства невозможности в математической логике и теории алгоритмов.
Лекции летней школы «Современная математика», г. Дубна.

Башаров А.М. Об аксиоматическом методе для учеников 6-7 классов

Более мудрено:
Беклемишев Л.Д. Позитивная логика для схем рефлексии в арифметике

См. также "Доказательность в математике"
Почитать:
Успенский В.А. Популярные лекции по математике. Выпуск 57 (1982). Теорема Гёделя о неполноте.
Нагель Э., Ньюмен Дз.Р. Теорема Геделя-УРСС (2010).